En Matemáticas Digitales llevábamos tiempo con ganas de explicar esta afirmación: ¿Por qué cuándo se eleva cualquier número a 0 el resultado es 1?
La explicación es muy sencillita, de hecho la vamos a ver ahora, pero este humilde bloguero le tiene un cariño muy especial a esta pequeña demostración.
Cuando comencé la carrera de matemáticas, hace ya 7 años, en la Universidad de Sevilla teníamos el denominado “Curso 0”. En él, se repasaban y enseñaban los conceptos matemáticos básicos que necesitaba cualquier alumno que quería afrontar con éxito el reto de llegar a ser matemático varios años después. Este pequeño curso, de aproximadamente un mes de duración, se realizaba justo antes de comenzar el curso regular y era realmente útil.
Por desgracia, todo esto lo contamos en pasado debido a que con la entrada de los nuevos planes de estudio, el Curso 0 se ha perdido. Una verdadera lástima.
¿Y qué tiene que ver todo esto con el tema que tratamos hoy? Muy sencillo. En una de las primeras clases del Curso 0 el profesor nos dejó mandado como tarea demostrar por qué un número elevado a 0 es igual a 1, y esa fue mi primera demostración en matemáticas. Fue la primera vez que sentí ese placer especial de decir “He llegado a un razonamiento que es irrefutable, y que matemáticamente nadie puede negar”. Esa sensación especial son las verdaderas matemáticas.
Pero basta de batallitas. Vamos a atacar nuestra afirmación. Si os parece, vamos a decir qué es un Lema (teorema pequeñito) y lo vamos a enunciar de manera un poco más rigurosa, aunque sin utilizar mucho lenguaje matemático para que todos lo leamos bien.
Lema: Todo número real elevado a 0, excepto el propio 0, es igual a 1.
Demostración: 
Como se puede observar, excluimos el 0, entre otros motivos, porque si en la demostración tomamos x=0 y a=1, habría un paso en el que dividiríamos entre 0. Es decir, en ese caso, la operación sería equivalente a dividir entre 0, y eso ya sabemos que es una operación prohibida en matemáticas. Por lo tanto, cero elevado a cero es una indeterminación, es decir, no sabemos qué ocurre y por lo tanto no puede ser una operación definida.
Yo quizás llegué a esta conclusión algo mayor, ya en edad universitaria, pero en mi defensa he de decir que nunca tuve un profesor en el instituto que me hiciera creer en la belleza de encontrar los por qué en matemáticas. Por eso, animo a aquellos profesores y futuros profesores de secundaria, que incentivéis a vuestros alumnos para hacer estas pequeñas demostraciones porque si ello sirve para que al menos un alumno vea la belleza que se esconde tras resolver un problema así, entonces ya habréis triunfado como docentes.
@JcVirin
Corolario: Este post se lo quiero dedicar a José Luis Ríos por darme la idea. Nunca dejes de buscar ;-).
Una visión que no estaría de más comentar, sería la siguiente…
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/07/un-comentario-sobre-cero-la-cero.html
En cuyo caso la ec. 5 no sería la explicación, sino más bien, la conjuntista.
Es muy difícil pero a la vez me gusta la materia
Disculpame, pero es muy sencillo esto de las potencias
Teniéndose en cuenta este video bastante completo, a la par de la explicación conjuntista.
Dependería del sistema que se adopte…
Esta entrada resulta interesante
http://gaussianos.com/video-problems-zero/
Wolfram da por indeterminado http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0
La ec. 5 es aplicable con a no igual a cero.
Es verdad que es un tema algo controvertido, que puede dar lugar a diferentes puntos de vista. Pero lo que sí es cierto, es que 0^0 está considerado por la mayoría como un valor indeterminado.
Te dejo el enlace de la Wikipedia, en el que se hace mención a este hecho 🙂
http://es.wikipedia.org/wiki/Cero#Cero_en_la_potenciaci.C3.B3n
Sí amigo.
Cuando vi matemáticas discretas lo definían como 1, por no haber contradicción con el sistema usado. Cuando vi cálculo lo definían como indeterminado precisamente porque 0 elevado a la algo da cero si ese algo es un número distinto de cero; y algo elevado a la cero es 1 si es la base distinta de cero.
Lo que he encontrado en las citas:
vitutor: 0^0 es indeterminado pero su límite tiende a 1
Topología y lógica: en teoría de conjuntos no hay contradicción con definirlo como 1, igual a 1.
Luego entiendo que si optamos por una definición consistente con el sistema usado no habrá problema.
Saludos!
Este es el argumento de los defensores de 1, no conjuntistas
http://www.youtube.com/watch?v=_fl7xbakvxs
o de algunos de los que defienden el 1, porque otros se basan en este video de numberphile
http://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q
Por cierto, los dados del dibujo me han puesto a pensar, en estos días, que estaba leyendo sobre Laplace y los trés métodos… en probabilidades
Saludos, y gracias por leer mis comentarios.
De nada Antonio. Tus comentarios son siempre bienvenidos 🙂
Sí, amigo, muy amable…
Fíjate unas cosas que continúo revisando…
Sobre obtener el valor de 0^0 a través de la propiedad de la potencia con exponente una diferencia, recuerdo que las definiciones de elevar a la 1 y elevar a la 0, vienen antes de dicha propiedad, de modo que en dicho caso temo por una posibilidad de entrar en razonamiento circular.
En lo que respecta a el valor de 0^0, por lo que he podido leer en las fuentes consultadas, yo diría que:
En el cálculo se adopta que 0^0 es indeterminado sin caer en inconsistencias; mientras
En la teoría de conjuntos se adopta que 0^0 es 1, sin caer en inconsistencias.
Lo que no me convence es el video que dice darle el valor de 1 a 0^0 porque el límite de x^x tienda a 1 cuando x tienda a cero… porque ha sido necesario tomar un límite.
Para 1/0 se obtiene una operación indefinida, si se toma el límite se sabe que tiende a +infinito cuando se llega a cero por la derecha y a -infinito cuando se llega a cero por la izquierda, pero se ha tomado un límite, el cual no existe porque no es igual por la izquierda que por la derecha, y además infinito no es un número sino un concepto.
No así en un caso comentado donde 0.999…=1 y es una igualdad numérica no un límite que tiende a.
De modo que estos dos artículos me dejan ver que el valor lo hayan por un límite, en cálculo, por lógica en teoría de conjuntos, pero es en principio un valor indeterminado cuando se sustituyen valores en una sucesión
http://www.zurditorium.com/cero-elevado-a-cero-no-es-una-indeterminacion
http://mathworld.wolfram.com/Power.html
Amigo que le parece esto
http://www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/
Me parece que es un buen resumen de lo que has comentado aquí y en el artículo de mi admirado Gaussianos.
Quizás Antonio, por el público objetivo de este blog, no vas a tener aquí tertulias matemáticas tan interesantes como la que he leído que has tenido en Gaussianos sobre este tema, pero se agradece que aportes tus conocimientos y buenos enlaces para quién esté interesado en profundizar más, tenga esa posibilidad.
Comprendo, José.
¡Más bien, gracias a usted por toda su receptividad!
http://almargendefermat.wordpress.com/2009/12/27/%C2%BFcuanto-vale-0-elevado-a-0/
Miren esto, solo por mencionar algo interesante y sin dejar de respetar la entrada del autor
Aquí parece zanjar
http://www.vitutor.com/fun/3/a_11.html
Fíjense:
1) Una axiomática que define la cuantificación universal sobre vacío
http://piluky.lacoctelera.net/post/2006/04/16/-el-actual-rey-francia-es-calvo-
2) Una que no lo hace
http://plato.stanford.edu/entries/generalized-quantifiers/#univ
Esto en principio no pareciera tener que ver con esta entrada del blog, pero ojo!
Sobre [latex]0^0[/latex] registrarse en este foro y leer este link permite leer interesantes comentarios
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70668.new#new
Otra forma es la de sustitucion del 0 por el -1 solo se hace fraccion y se simplifica «TODO ESO SIN QUITARSE LA VIDA HACIENDO TATAS OPERACIONES»
Buenos días,
Cabe decir que soy físico (y no matemático)con el máster de profesor de matemáticas. Simplemente es para agradecerte que hayas creado esta web, porque estoy encontrando muchos materiales que sin lugar a dudas utilizaré en el aula de secundaria y bachiller (con la correspondiente citación).
Muchísimas gracias Alberto. Para mí es un placer que este blog sirva de ayuda, de conocimiento o como simple entretenimiento. Y me hace especial ilusión que se utilicen en clases de secundaria. Seguro que en próximas generaciones el amor por las matemáticas será más universal.
Un saludo 🙂
buen trabajo, excelente humanismo.
no soy matematico y nunca e entendido como lo usan o abusan.
El 0 me parece un numero incomprendido y por lo tanto a sido usado para demostrar o desmentir resultados que no somos capaces de comprender.
Yo diria que es un numero la relatividad.
Si se halla 0^0, podríamos deducir que 0^0/0^0 que es igual a a 1^0, lo que nos llevaría a deducir que en realidad 0^0=infinito… si estoy mal los invito a corregir mi comentario. Si estoy en lo correcto, debería de ser «todo número X (R = o >1), que se encuentre elevado a la potencia 0, da como resultado 1. Si X=0, entonces su resultado es Infinito».
El caso 0^0 se puede decir que es especial. La demostración que he hecho es para los número reales excepto el 0, porque si contamos que vale el 0, en algunos casos podemos llegar a un absurdo.
La forma de enfocar 0^0 es completamente distinta. En los casos en los que es necesario se suele utilizar como resultado el 1. Te dejo un enlace a Gaussianos en el que hace la demostración de por qué es lo más coherente matemáticamente http://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/
Saludos
Hola, estoy de vacaciones, y me he decidido a repasar mis conocimientos de bachillerato en matemáticas, espero que mi chico llegue a esa etapa y me gustaría estar preparado para apoyarle. Como no tenía materiales he buscado, claro, por internet y he encontrado la página que mencionáis en algún comentario «vitutor». He empezado por los números reales y al toparme con la propiedad x^0=1, al hilo de uno de los comentarios, he vuelto a revivir esa sensación de frustración al no comprender mucho de los conceptos ¡porque no me explicaban!, toda la cuestión consistía en memorizarlos y tener la «suerte» de acordarte para cuando te hiciese falta(¡pero si no los comprendía!.
Acabo de encontrar este blog, la explicación me ha gustado y mejor aún me ha sido útil (por ahora…) y tengo esperanzas de que me se útil desde ahora para comprender más esta disciplina, aunque solo sea para el nivel de «papa que llega a casa tarde del trabajo pero ayuda al niño a resolver y comprender las matemáticas», «o en vacaciones».
Siempre sorprende a quién puede servir nuestro trabajo José, Estupendo.
Muchísimas gracias por tu comentario Jesus!!!
Es que eso mismo que cuentas es para lo que me dedico a escribir este blog, que es llegar a crear interés en las matemáticas a personas que por uno u otro motivo no se han dedicado a ellas. Para matemáticos abstractos hay otro tipo de páginas.
Así que me alegro mucho haber resuelto tu duda y de que te haya gustado :).
Un saludo
A sido muy interesante. Me lo había explicado mi profesor pero no lo apunté y se me olvidó. Ahora me habeis refrescado la memoria, gracias.
Gracias por tu comentario Antonio!
Me alegro que te haya sido de utilidad.
Un saludo
Simplemente precioso.
^_^
Me gusto mucho la demostración, felicidades y muchas gracias.
SI 2^2- 2^2=1 POR QUÉ 4 – 4= 0?
2^2 – 2^2 = 0
Eee me gusto pero necesito ejemplos con números
..
pero entonces
1¹=1⁰, si las bases son iguales los exponentes tambien deben ser iguales, entonces 1=0. alguien me podria explicar o sacamos el 1 tambien de la lista
Muy constructivo Graciassss
Si no me equivoco, si tomamos 0^0 como un número en si mismo, podemos llamarlo el número a, por tanto tenemos que a = 0^0. De donde aplicando a la expresión que planteas: (0^0)/(0^0) = a / a. Matemáticas básicas, cualquier número dividido por si mismo es 1.
Cosa diferente es que para que esto sea válido haya que demostrar que cualquier número dividido por si mismo es 1 y en cuyo caso también se excluya el 0, cosa que no recuerdo.
Si nos salimos del campo de las matemáticas, hay que tener en cuenta que la energía ni se crea ni se destruye solo se transforma. En ese caso habría que preguntarse como se puede generar algo de la nada. Si 0/0 es 1 entonces significa que se si que se puede crear algo de la nada y la física que conocemos queda rota. Quizás la física cuántica tenga algo que decir al respecto…
En fin, es solo un pensamiento
Solo un comentario: Con relación a «que se puede crear algo de la nada». Habria que considerar que todo numero tiene de manera implícita (o puede representar) algo que se puede medir o cuantificar, y de esta forma, cuando no hay nada que medir, estamos considerando la realidad del cero. (Quizás suene a simplismo, pero le encuentro algun sentido)
Hola muy buenos días, tardes o noches, donde quiera que estén 🙂 les escribo para darles las gracias por este pequeño post, cuando estudie el cole siempre vi belleza en la mate, pero me costaba atraparla, comprenderla a fondo, sacaba las notas, pero no profundizaba en ella, porque quería saber los por que y la gente solo me decía el como, a uno solo le dan los procesos mecánicos para obtener resultados y yo quería ver mas allá y la verdad también perdí el interés, por suerte tengo un gran interés en la ciencia y debido a mi hábito de lectura tengo cierta facilidad para comprender las ideas de la física, química, biología, etc. que me encantan, pero ya hace tiempo me he topado con un gran muro, comprendo la lógica detrás de un experimento o las ideas y conclusiones que nacen de el, pero cuando me topo con la mate no puedo seguir… eso me motivo a volver a estudiar mate, estoy comenzando apenas, volviendo mis pasos a las leyes básicas de los números, y tratando de comprender los por qué… y pues lento pero seguro voy avanzando, y estudiando, estudiando me topé con su blog y me gusta tanto que se preocupen en explicar las razones, en profundizar en la naturaleza de la matemática. Les agradezco mucho por la pequeña prueba que presentaron y si no fuera mucho abusar, me gustaría pedirles un consejo. ¿Qué consejo me daría para irme adentrando mas allá en el mundo de las matemáticas? Muchas gracias por su atención 🙂
Me alegra mucho haberte ayudado un poquito con mi blog :).
Respecto a profundizar en mates, yo buscaría autores de divulgación matemática, que solemos explicar cosas de matemáticas de una manera muy sencilla e intuitiva, y conforme te vayas interesando por algun resultado o alguna rama, pues hay muchísimo que leer sobre ese tema.
Puedes consultar blogs de mates como los que enlazo en el apartado de «Blogs recomendados». A mí me gustan mucho todos.
Por supuesto también puedes leer libros. Cualquier libro de Adrián Paenza, Martin Gardner y, sobre todo, de Ian Stewart seguro te va a gustar.
Un saludo.
Saludos: elegante tu demostración..
Hola, gracias por tu post. Soy muy novato en las matematicas pero tengo aficion y leyendo el pequeño teorema me entró una duda: tenia entendido que en la division de potencias con igual exponente estos no se restan, sino que quedan iguales, Y para que a – a den como resultado 0 deben si o si ser iguales ¿verdad? (a menos que se tome n^a / n^-a). No se si estoy confundiendo las cosas, te agradeceria que aclares mi duda si podes. Saludos!
Hola, se restan los exponentes cuando lo que divides son potencias de la misma base, como es este caso.
Un saludo, y gracias por pasarte por el blog 🙂
Gracias JCG. Me da un poco de verguenza, no sabia que una propiedad anulaba a la otra. ¿sabes si existe alguna otra demostracion?
amigo me podrias demostrar por que x a la menos 1 es igual a 1 sobre x gracias
L a verdad es que me ha servido de mucha utilidad, porque ,mirando en otras paginas webs no las entiendo, porque lo ha puesto bastante sencillo de entender, simplemente gracias 🙂
Muy buena la pagina
Saca de apuros …
Saludos de Dinamarca
¡Muchas gracias!
Saludos 🙂
Muy buena explicación, información concreta y sencilla de entender.
Muchas gracias, hacen falta maestros como usted en la aulas.
Muchas gracias Aaron. Espero haberte ayudado con el post 🙂
Desde hoy y para siempre, muy fan de esta pagina.
Gracias por la explicación tan sencilla, este año vuelvo a la Universidad despues de 18 años sin estudiar y me he topado con que olvide por completo las matematicas (ademas de tener una mala base en la enseñanza basica) así que me volvere un asiduo a leerte.
Un parrafo que me gusto leer fue «belleza de encontrar los por qué en matemática»… cuanta falta hace esó! Hoy mi «profesora» de mates solo se preocupa de dar las propiedades conmutativas, de potencia y etc. como reglas fijas, sin explicar los por qué detras de ellas… al final solo repetimos como loros sin entender realmente, solo memorizar.
De nuevo muchas gracias y ahora a leerme todas las secciones y aprender!
Saludos desde Chile.
Muchas gracias por tu mensaje Mario.
Espero que sigas disfrutando de la web.
Un saludo 🙂
Simplemente gracias, por fin una demostración para entender porque el log de 1 es 0, a partir de que todo número elevado a 0 es 1.
Me costaba enseñarle esto a mi hijo de secundaria, sin entenderlo primero.
Es un gran articulo…soy estudiante de educación y te doy toda la razón,eso es lo que se debe buscar en las aulas escolares, no hay mejor lugar para hacerlo…¡¡¡MUCHAS GRACIAS!!!
Muy bien y elegante
No entendí: de donde sacaste ese a-a ???? Eso es igual a cero? Pero qué es a?
a es un número cualquiera. Si te das cuentas, cuando restas un número cualquiera menos ese mismo número, el resultado siempre será 0. Por eso podemos realizar ese paso.
Un saludo.
Excelente demostración, es bueno saber el porqué de las cosas, gracias y espero más demostraciones y un curso cero.
Según la hoja de calculo excell
0.1^0.1= 0,794328235
0.01^0.01 = 0,954992586
0.001^0.001=0,993116048
0.0001^0.0001=0,99907939
De aquí deduzco que 0^0 = 1
Gracias, me gusta como lo expones, sencillo y eficaz y la pasión con la que lo comentas
Gracias Inmaculada! Un saludo.
Gracias por tu explicación! Me pareció genial la introducción, una historia detrás de una demostración.
Hola!
Gracias por la explicación: sencilla, elegante y contundente.
Soy estudiante de química y curiosa por naturaleza.
Me gustaría saber ¿porque 0!=1?
Se lo he preguntado a varios matemáticos y todos me dicen «porque es así».
Obviamente, no me convence.
Gracias de antemano y saludos!
Hola Elaine, gracias por pasarte por el blog.
EN matemáticas hay muy poquitas cosas que son así porque sí, y una de ellas es el 0!. Es un acuerdo tomado hace ya mucho tiempo y que funciona con toda la axiomática, por lo que se toma así como correcto. Piensa que si no no sería posible por ejemplo realizar números combinatorios en los que el valor superior e inferior coincidieran.
No sé si te habré convencido mucho, pero es así.
Saludos.
Gracias por una explicación tan digna de las matemáticas, que son apasionantes porque su lógica aplastante las hace irrefutables. Sí se enseñara el por qué de los axiomas matemáticos de manera sencilla, tal como surgieron, siguiendo un pensamiento lógico, y se mostrara la infinita utilidad de las operaciones matemáticas en la educación básica, éstas dejarían de ser un enigma y un problema para convertirse en una herramienta práctica de infinita utilidad.
yo tengo una duda que pasa si tengo que 3^x = 0 y tengo que encontrar cuanto vale x
Hola Fernando.
Ese es otro tipo de ecuaciones que se llaman ecuaciones exponenciales. Hay varios métodos para despejar esa x dependiendo de cómo es la ecuación, pero el que funciona siempre es utilizar el logaritmo.
Es decir, si en tu ejemplo aplicas logaritmo en base 3 en ambos miembros, en el primer miembro se quedaría tan solo x, y en el segundo quedaría log3_(0), que en este caso no existe, pero así podrías hallar el resultado en otras ecuaciones con solución.
Un saludo!
Increible explicación, soy alumno de 1º de bachiderato al que le encantan las matemáticas aunque un poco desmotivado, este año no me gusta el profesor y no tengo los resultados esperados en notas. Este artículo me ha enseñado y me ha motivado mucho. Muchas gracias y que le vaya bien en ela carrera, sigue así crack!!
Gracias por tu comentario Álex. Me alegro que te haya gustado.
Muchas veces los profesores no nos paramos a explicar estas cosas, y la verdad que enriquecen mucho porque hacen que las mates dejen de «ser así porque sí».
Ánimo y suerte.
Sigo sin entenderlo. Si yo sigo la lógica de que 4 elevado a nada es igual a 4, 4 elevado a 0 es lo mismo.
4=4
4^0=4
Yo lo que creo es que está mal relacionado, es decir. Si yo digo
4^1 ==> Estoy diciendo que elevo o multiplico por si mismo el 4 solo una vez, que eso sería 4×4 =16
4^2 ==> Estoy diciendo que elevo o multiplico por si mismo el 4 dos veces, y eso sería 4x4x4=64
Simplemente….¡Gracias!