Hace pocos días pudimos ver en los medios que el matemático peruano Harald Andrés Helfgott había demostrado la Conjetura Débil de Goldbach, que era un problema abierto desde 1742, y es el hermano pequeño del que con casi toda seguridad es el problema más importante de las matemáticas en la actualidad: La Conjetura de Goldbach.
Christian Goldbach
Una conjetura es un resultado que se presupone cierto porque no se ha encontrado hasta el momento ningún contraejemplo que no lo verifique, pero que tampoco ha podido ser demostrado rigurosamente.
En muchos casos, las conjeturas suponen un gran reto para la comunidad matemática. Célebres en los últimos años son las demostraciones de la Conjetura de Poincaré, que tardó más de 100 años en poder demostrarse, o la del conocido como Último Teorema de Fermat, que fue probado casi 4 siglos después de ser enunciado.
Christian Goldbach fue un matemático prusiano del S.XVIII. Comenzó su carrera como profesor de matemáticas en San Petersburgo, y posteriormente se trasladó a Moscú para trabajar a las órdenes del Zar Pedro II.
Los resultados por los que es conocido son los siguientes:
Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2, puede ser escrito como la suma de dos números primos.
Conjetura Débil de Goldbach: Todo número impar mayor que 5, puede ser escrito como la suma de tres números primos.
Veamos unos ejemplos sencillos para aclarar los conceptos, aunque te invito a que lo hagas con cualquier número que se te ocurra:
Caso fuerte:
- 8=3+5
- 10=5+5 ó 10=7+3 (la descomposición no tiene por qué ser única)
- 20=13+7
- 554=331+223
Caso débil:
- 9=3+3+3
- 15=7+5+3
- 31=17+7+7
- 133=37+83+13
Si nos fijamos bien, la demostración del caso débil sería trivial si el primer resultado estuviera probado. Bastaría con encontrar los dos números primos que sumados dieran el número par tres unidades anterior al número impar que queremos formar, y sumarle 3 que como todos sabemos, es otro número primo. Luego, tendríamos tres números primos, cuya suma nos daría el valor impar deseado.
Pero como ya hemos dicho, la versión fuerte no ha podido ser demostrada aun, y parece ser que puede quedar mucho tiempo para que el resultado sea probado, y esta prueba no nos vale todavía. Tampoco nos vale el camino inverso, porque no hay ninguna manera (al menos conocida) de que la versión débil implique que se cumple la fuerte.
Lo que sí que se ha probado computacionalmente (mediante la ayuda de ordenadores), es que el resultado es cierto para todo número par inferior al trillón. Pero como ya hemos comentado en este blog en muchas ocasiones, los números naturales (1,2,3,…) son infinitos, y por lo tanto, un trillón es una parte muy pequeña de todos los que existen. No podemos darlo por demostrado.
@JcVirin
La conjetura de Goldbach ¿excluye el caso en el que si se restan dos números primos se obtiene un número par?
En principio sí se excluye, dado que hay soluciones en el caso de la suma. De todas formas es muy buena pregunta, pero creo (no estoy seguro 100%) que la conjetura se refiere solo a la suma
En el hipotético caso de que alguien lo resuelva , como y donde se debería publicar ?
Pues en cualquier canal de publicaciones matemáticas que se dedique a la investigación
Tu pregunta está relacionada con la conjetura de Polignac http://en.wikipedia.org/wiki/Polignac%27s_conjecture, aunque esta conjetura es mucho más fuerte
Obviamente que se excluye , la diferencia de dos primos mayores que dos , siempre es un par , pues los primos , mayores que dos , son impares. Eso no es una conjetura , eso es cierto
He demostrado que la conjetura fuerte de Goldbach es verdadera:
http://ciencia-y-logica-suficientes.blogspot.mx/2014/05/demostracion-formal-por-reduccion-al.html
Es una demostración a partir de lógica de primer orden y reducción al absurdo.
Saludos y gracias.
PS: Si a alguien le interesa, hay otras explicaciones de la demostración en mi blog, con la etiqueta «Conjetura de Goldbach» a la izquierda de la página web. No obstante, la demostración formal y definitiva es la que he presentado en el vínculo.
La resta de dos primos, como de dos pares o dos impares cualesquiera, primos o no, es siempre par. Es trivial. Si no fuera par, se podrían sumar dos números pares para dar un impar o dos números impares para dar un impar.
Lo que usted ha demostrado es que la suma de dos primos mayores que dos es par, lo que es trivial. La conjetura es el enunciado inverso, que un par es siempre suma de dos primos!!!
Entonces qué sería un contraejemplo? Que hay otra forma de expresar un par como suma de no primos? P.e. 24 = 9 + 15 ?
24 TAMBIÉN ES 11+13. UN CONTRAEJEMPLO ES ENCONTRAR UN NÚMERO PAR QUE NO PUEDE EXPRESARSE COMO SUMA DE DOS PRIMOS, NO BASTA CON QUE SE PUEDA EXPRESAR COMO SUMA DE DOS NÚMEROS NO PRIMOS. TAMBIÉN SERIA IGUAL A 10 Y 14 O 12 Y 12 O 8 Y 16, ETC.
Creo que ya lo he pillado 😉
De todas las combinaciones de 2n = a + b, encontrar una en la que ni a ni b sean primos.
Aquí lo que subyace detrás del problema es poder determinar si a y b son primos o no.