¡Camarero, una cerveza! Esta es una de las frases que más nos gusta decir en el verano, a todos nos apetece una cerveza fresquita en una terraza y tomarla tranquilamente… ¿tranquilamente?, si esperamos demasiado acabaremos tomando una cerveza caliente, veamos qué tiene que decirnos las matemáticas sobre esto.
Se ha comprobado experimentalmente que la temperatura de un cuerpo varía proporcionalmente a la diferencia entre la temperatura ambiente y la temperatura del propio cuerpo (ley de enfriamiento de Newton).
Conocemos la variación de la temperatura, es decir, su derivada; de esta manera, la ecuación que modela este fenómeno queda de la siguiente manera:
Denotemos por T(s) a la temperatura de nuestra cerveza en el instante s y por A a la temperatura ambiente, por lo tanto, tenemos que
donde kes una constante de proporcionalidad que depende solo del cuerpo.
La ecuación anterior es una ecuación diferencial, se denomina así porque nuestra incógnita es una función y lo que conocemos de ella es información sobre su derivada. La solución a la ecuación es:
siendo T0 la temperatura de la cerveza inicialmente.
Veámoslo gráficamente con un ejemplo, para ello hemos considerado que la temperatura ambiente es de 30 oC y nos sirven la cerveza a 2 oC.
En la gráfica observamos que al cuarto de hora de tener la cerveza delante ya está a más de 15 oC. ¡No uséis esto como excusa para beber más rápido y pedir otra!
También podemos utilizar lo que hemos visto para el caso contrario, pedimos un café para entrar en calor y queremos saber el tiempo que tardará en enfriarse. Supongamos que la temperatura ambiente es de 12 oC y el café se encuentra a 90 oC. La evolución de la temperatura es la siguiente:
Las ecuaciones diferenciales se usan para modelar una gran variedad de fenómenos, las hay desde sencillas que se pueden resolver de forma exacta, como ha sido el caso que hemos visto en este post; hasta muy complejas que se resuelven mediante métodos numéricos para obtener una solución aproximada.
@miguelburgosp
Bastante curioso, me beberé las cervezas más rápido