Hacía tiempo que tenía muchas ganas de escribir este post. En él vamos a hablar de un resultado clásico y muy conocido, pero que por su sencillez e importancia es una de esas demostraciones elegantes que todo matemático adora, y que además es muy entendible para toda persona que tenga curiosidad por este mundillo.
En primer lugar vamos a recordar que un número es primo cuando es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores naturales: el propio número y el 1. Cuando un número no es primo se le denomina número compuesto.
Son números primos el 2, 3, 5, 7, 11,… Pero también números más grandes como 991, 1699 ó 9613 por poner algunos ejemplos. Como curiosidad cabe destacar que el mayor número primo conocido por el ser humano hasta el día de hoy consta de más de 17 millones de dígitos.
Claro, si nos paramos a pensar en lo anterior, hay muchísimos números que cumplen esta condición tan especial. Entonces es lógico que nos preguntemos: ¿Cuántos números primos hay?, ¿Serán infinitos o se acabarán en algún momento?
Bueno, lo que os voy a descubrir tengo que reconocer que no es algo nuevo. De hecho, esto ya lo respondió Euclides en el Siglo III a.C., mediante una preciosa demostración en sus conocidísimos Elementos (por cierto, el segundo libro más vendido de la historia).
En su demostración Euclides prueba que, efectivamente, existen infinitos números primos.
Esta es la demostración:
Supongamos que existe un número finito de números primos, entonces podríamos escribir una lista con todos esos valores que serían de forma genérica P1, P2, P3,…,Pn.
Con todos esos números podríamos crear un nuevo valor, llamado K, que fuera simplemente el producto de todos los números primos del listado, y al resultado sumarle 1. Es decir:
K=(P1·P2·P3·…·Pn)+1
Ahora existen dos opciones, ó K es un número primo ó es un número compuesto.
Si K es primo, entonces la lista anterior era incompleta, puesto que en ella no estaban todos los números primos.
Si K no es primo, entonces necesariamente tiene que ser divisible por un número primo menor que él. Pero si se divide K entre cualquier número primo de la lista anterior (supuestamente todos), ocurre que siempre queda de resto 1. Por lo que debe de existir algún primo que no estuviera en la lista, y por tanto la misma estaría incompleta.
Estas dos conclusiones nos llevan a lo que en matemáticas se llama una contradicción, que es llegar a algo imposible a partir de nuestra hipótesis. Y como es imposible, se demuestra lo contrario de lo que habíamos supuesto, es decir, queda demostrado que existen infinitos números primos.
@JcVirin
Gracias José Carlos; se echaban de menos tus posts. He leído bastantes antiguos y hay muchos interesantes, la verdad. Se nota que eres docente porque te explicas muy bien.
Un saludo.
Muchas gracias Alfredo!
He tenido que bajar el ritmo de publicación por motivos de trabajo. Pero intento que al menos tengamos un post nuevo cada mes, para seguir construyendo nuestro rinconcito de mates.
Un saludo 🙂
Una buena forma de demostrar que el conjunto de números primos es infinito. Por si alguien no lo sabe un número compuesto es el concepto opuesto al número primo. Es decir tiene algún divisor además del uno y del propio número.
Hola José Carlos
Veo que esa demostración no es del todo cierta. El contraejemplo es el siguiente:
Suponiendo que solo existen los primos P={2,3,5,7,11,13} entonces si K=2x3x5x7x11x13+1=30031 resulta que es verdad que 30031 mod Pi = 1, pero eso no demuestra que 30031 es primo, de hecho, no lo es puesto que además del 1 tiene a 59 y a509 como factores primos. Es decir que podría existir un conjunto de números primos a partir del cual se pueden generar el resto de números.
La pregunta entonces es ¿Hay alguna demostración actualizada?
Hola AS. La demostración es correcta y aceptada desde hace más de 2000 años.
En matemáticas las demostraciones no dejan de funcionar pasado un tiempo y hay que actualizarlas. Si algo está rigurosamente demostrado, eso es para siempre.
Otra cosa es que para un mismo resultado se vayan sacando diferentes demostraciones, y al final tomemos como una «demostración mejor» aquella que es más corta, o más bonita,… En esos casos sí que puede haber «actualizaciones» y seguro que este resultado las tiene. Esta es simplemente la demostración clásica.
Con el ejemplo que pones cometes un error de planteamiento. Lo que dices es verdad, pero no cumple los requisitos de la demostración. Hemos hecho un listado de primos (en tu caso del 2 al 13) y realizamos la operación, pero ahora lo quieres dividir entre un primo que es mayor que 13. Eso es porque conoces la existencia de ese primo mayor, por lo que debería de entrar en el producto de primos (y todos los primos entre el 13 y el 59). Así que no puedes llegar a esa contradicción porque omites valores.
Es verdad que lo que comentamos es hilar muy fino, pero es que en matemáticas hay que hacerlo para poder ser riguroso y poder hacer afirmaciones tan contundentes como esta demostración.
Gracias por tu aporte, me ha resultado muy interesante.
Un saludo.