El cálculo de límites es una rama del cálculo que se ocupa del comportamiento de funciones cuando se acercan a un valor particular. Un límite se puede definir como el valor al que se acerca una función o secuencia a medida que la entrada o el índice se acerca a un valor particular.
El estudio de los límites es un tema fundamental en el cálculo y juega un papel crucial en el desarrollo de muchas teorías y aplicaciones matemáticas importantes. En este artículo profundizaremos en la definición de límite, sus tipos y sus propiedades. Proporcionaremos diferentes técnicas para evaluar problemas de límites con ejemplos.
Definición de cálculo de límites
Sea f(x) una función de valor real. Si x se aproxima a un número c tanto por el lado izquierdo como por el derecho, y f(x) se aproxima a un valor particular L, entonces decimos que el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L. Esto se escribe simbólicamente como:
Esto se puede leer como «El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a c es L».
Tipos comunes de límites
Hay muchos tipos de límites en cálculo, pero estos son algunos de los más comunes:
Límite unilateral
Los límites unilaterales analizan el comportamiento de una función cuando x se acerca a un valor específico desde un solo lado, ya sea el izquierdo (Lim x → c – f(x)) o lado derecho (Lim x → c + f(x)).
Límite bilateral
Los límites bilaterales se utilizan para analizar el comportamiento de la función cuando x se aproxima a un valor particular tanto por el lado izquierdo como por el derecho.
límite infinito
Estos límites ocurren cuando una función se acerca a un infinito positivo o negativo cuando x se acerca a un punto particular. La forma matemática del límite infinito es Lim x → C f (x) = ± ∞.
Límite al infinito
Este tipo de límite considera el comportamiento de una función a medida que la entrada se vuelve extremadamente grande (infinito positivo o negativo). La forma matemática del límite en el infinito es Lim x → ∞ f (x) o Lim x → – ∞ f (x).
Comprender estos tipos comunes de límites es esencial para analizar el comportamiento de funciones y resolver problemas en cálculo y campos relacionados.
Leyes y propiedades de límites
Las propiedades y leyes del límite nos ayudan a calcular el límite más fácilmente. Aquí exploraremos algunas leyes de límite importantes:
Sean f y g dos funciones definidas para las cuales lim x → c f(x) = L y lím x → c g(x) = M, y k es cualquier constante distinta de cero;
Propiedades de adición: lim x → c [f(x) + g(x)] = lím x → c [f(x)] + lím x → c [g(x)] = L + M
Propiedades de resta: lim x → c [f(x) – g(x)] = límite x → c [f(x)] – lím x → c [g(x)] = L – M
Ley del producto: lim x → c [f(x).g(x)] = límite x → c [ f(x)]. limitado x → c [g(x)] = LM
Ley de división: lim x → c [f(x) / g(x)] = lím x → c [f(x)] / lím x → c [g(x)] = L/M (M ≠ 0)
Propiedades múltiples constantes: lim x → c [kf(x)] = k lím x → c [f(x)] = k L
Regla de poder: Lim x → c [f(x)] k = [Lím x → c f(x)] k = (L) k
Diferentes técnicas para calcular valores límite
A continuación se presentan algunas técnicas valiosas que le ayudarán a calcular los límites de forma eficaz.
Sustitución directa: Puedes calcular un límite simplemente sustituyendo el valor de la variable. Si la sustitución directa da como resultado un valor finito, ese es el límite. Sin embargo, tenga cuidado cuando encuentre denominadores que se acerquen a cero o que den como resultado expresiones indefinidas.
Factoriza y simplifica: si la sustitución directa conduce a una forma indeterminada (0/0 o ∞ / ∞ ), intenta factorizar y simplificar la expresión. Esto podría ayudarle a cancelar términos comunes y eliminar la indeterminación.
de L’Hôpital : esta regla se aplica cuando encuentras formas indeterminadas como 0/0 o ∞ / ∞ . Encuentra el límite tomando la derivada del numerador y denominador por separado y luego evalúa el límite nuevamente. Repita este proceso si es necesario.
Puede utilizar un calculadora de limites para encontrar el valor límite de la función en un punto particular de acuerdo con las técnicas y leyes del cálculo de límites.
Límite de algunas funciones importantes.
- Lim x → c [(x n – c n )/(x – c)] = n c n –1 (n ∈ N)
- Lim x → ∞ [1 + (1 /x)] x = e
- Lim x → 0 (a x – 1) / x = log e a
- Lim x → 0 (e x – 1) / x = 1
- Lim x → ∞ (ej. ) = ∞
- Lím x → – ∞ ( ) = 0
- límite θ → 0 (pecado θ / θ) = 1
- límite θ → 0 (tan θ / θ) = 1
Ejemplos resueltos de límites para el dominio
Resolvamos una variedad de ejemplos para desarrollar una comprensión sólida de diferentes técnicas y escenarios.
Ejemplo 1: (Método de sustitución)
Encuentra a Lim x → 2 (x2 + 2x – 3)
Soluciones:
Sustituya directamente x = 2 en la expresión:
limitado x → 2 (x 2 + 2x – 3) = 2 2 + 2(2) – 3
= 4 + 4 – 3
= 5
Ejemplo 2: (método de factorización y simplificación)
límite de cálculo x → 1 ( x3-1 )/(x-1)
Soluciones:
limitado x → 1 (x 3 – 1)/(x – 1) = (forma 0/0)
Factoriza el numerador y cancela el factor común en el denominador:
= límite x → 1 (x – 1) (x 2 + x + 1) / (x – 1)
= límite x → 1 ( x2 + x + 1)
Ahora, ponga x = 1 en la expresión simplificada:
limitado x → 1 (x 3 – 1)/(x – 1) = límite x → 1 (x 2 + x + 1) = 1 2 + 1 + 1 = 3
Por lo tanto, lím x → 1 (x 3 – 1)/(x – 1) = 3
Ejemplo 3: (Según la regla de L Hopital )
Calcular límite x → 0 (e x – 1) / (pecado(x)).
Soluciones:
limitado x → 0 (e x – 1) / (sin(x)) = (forma 0/0)
Aplicar la regla L hospitalaria:
= límite x → 0 [ d /dx(e x – 1) / (d/dx(sen x))]
= límite x → 0 (ex / cos x)
= mi 0 /cos (0)
= 1/1 = 1
Así, lím x → 0 (e x – 1) / (sen(x)) = 1
Conclusión
En este artículo, hemos explorado la definición de cálculo de límites con su representación matemática. Analizamos muchos tipos de cálculo de límites y sus propiedades. En este artículo se han cubierto muchos ejemplos resueltos para que nuestros lectores lo comprendan mejor.
Autor invitado: María Alonso
