¡Qué grande fue Leonhard Euler y qué enorme fue su legado!
En este humilde blog de mates hemos hablado ya en varias ocasiones de este genio de las matemáticas como por ejemplo su protagonismo en un billete suizo (su tierra natal) o sobre la ceguera que le acompañó gran parte de su vida.
Pero en este post vamos a hablar de uno de los múltiples resultados matemáticos que Euler demostró y que además lleva su nombre: La Recta de Euler.
Una recta es un conjunto infinito de puntos que se encuentran alineados, están unidos y cuya longitud es infinita. Además, la dimensión 1 es aquella que está compuesta en su totalidad por una recta.
Pues bien, es de sobra conocido que para construir una recta hacen falta tan solo dos puntos, aunque como bien hemos mencionado antes contienen infinitos puntos y por lo tanto si tres puntos se encuentran alineados también formarán una recta.
Como demostró Leonhard Euler en 1765, tres puntos tan particulares como son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo, siempre están alineados, y la recta que pasa por ellos es la que da título a nuestro post.
¿Pero qué son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro? Vamos a verlo:
Ortocentro:
Es el punto de corte de las alturas de un triángulo. Las alturas son las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el vértice contrario.
Siempre estas tres rectas se cortan en un solo punto, cosa que no es tan trivial.
Baricentro:
Es el punto de corte de las medianas de un triángulo. Las medianas son las rectas que pasan por el centro de cada lado del triángulo y corta al vértice contrario.
Tampoco es trivial, pero estas tres rectas también se cortan siempre en un solo punto.
Circuncentro:
Es el punto de corte de las mediatrices de un triángulo. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el centro del mismo.
Como en los casos anteriores, solo se obtiene un punto.
Además, cuando se traza una circunferencia de centro circuncentro y radio hasta cualquiera de los vértices, se obtiene una circunferencia en la que está contenido el triángulo y además los vértices pertenecen a la propia circunferencia.
Pues ahora que ya conocemos a los protagonistas, se puede comprobar que siempre están alineados. En la imagen la Recta de Euler es la que está dibujada en amarillo y que efectivamente une los tres puntos anteriormente descritos.
Este resultado de geometría es realmente bonito, y para seros sinceros, es uno de los que más me fascinan en matemáticas por la gran cantidad de elementos importantes de geometría que relaciona.
@JcVirin
La pena es que el incentro no pueda ser incluido en la recta.
¡Enhorabuena por el blog!
Muy cierto Alfredo, ya hubiera sido el pleno con el incentro. De todas formas sigue siendo un resultado maravilloso.
Muchas gracias, me alegro que te guste el blog.
Un saludo
En el triangulo Isosceles si se cumple.
Buenas ante todo soy el Lcdo. Juan Carlos Guilarte Rangel , natural de Valencia -Venezuela ; mediante esta vía me comunico con ustedes para ver la factibilidad de publicar en su prestigiosa website me ayuden sobre cómo puedo dar a conocer una serie de trabajos realizados por este servidor en torno a ciertos aspectos relacionados con la teoría de números y los cuales enumeraré: ( 1 ero. ) He determinado, mediante un enfoque distinto al tradicional, una fórmula para el Triángulo de Pascal lo que permite obtener cualquier elemento del mismo. La referida fórmula permite dar respuesta a una serie de hechos matemáticos tales como: * Mediante la referida fórmula he podido obtener el total de términos de un desarrollo polinomial ; obteniendo que el total de términos de dicho desarrollo polinomial es igual al elemento ubicado en la posición » n + 1 » de la «m » – ésima diagonal del Triángulo de Pascal. Por ejemplo; los totales de términos de un desarrollo trinomial coinciden con cada uno de los elementos ubicados en la Tercera Diagonal del Triángulo de Pascal ( nota: «m » es un entero positivo // » n » pertenece a N y » a » pertenece a R ) * Asimismo he podido hallar un método para estudiar las series finitas del tipo: Σ km ( » k » elevado a la «m » ) ; en este este sentido he hallado que : Σ k ( sumando desde k = 1 hasta k = p ) es igual al elemento de la Tercera Diagonal del Triángulo de Pascal ubicado en la p-ésima posición Σ k2 ( » k » elevado a la » 2 » // sumando desde k = 1 hasta k = P ) es igual a la suma del elementos ubicados en la Cuarta Diagonal del Triángulo de Pascal y ubicados en las posiciones » p-1 » y » p » ( 2do. ) He demostrado que un triángulo es pitagórico sí y sólo sí la longitud de su hipotenusa es un » primo pitagórico » o en su defecto un múltiplo de éste. En este sentido he podido hallar que la ecuación: z2 ( » z » elevado al cuadrado ) = x2 ( » x » al cuadrado ) + y2 ( » y » al cuadrado ) ; es soluble para valores enteros positivos sí y sólo sí » z » es un primo pitagórico Asimismo he podido determinar que si » z » es un » primo pitagórico » la ecuación: zn ( » z » a la » n » ) = xn ( » x » a la » n » ) + y n ( » y » a la » n » ) ; no admite soluciones enteras positivas Grosso modo estos son algunos de los aspectos contenidos en las investigaciones hechas por este servidor. Realmente espero que las mismas les haya llamado la atención y anhelo ardientemente en torno a la posibilidad de que me orienten en torno a las puertas que debo tocar; los caminos que debe recorrer para dar a conocer ante las instancias correspondientes tales trabajos y que éstos puedan ver la luz. De ante mano, sea cual sea su respuesta, gracias y disculpe las molestias causadas en caso de cualquier contacto me pueden ubicar en: e-mail: quovadis.22@hotmail.com // celular : ( 0416 ) 04.07.687
Hola Juan Carlos, el nuestro es un blog de divulgación. Seguramente no sea la mejor vía para publicar resultados o investigaciones.
Pero te agradecemos el interés y el amor que muestras por las matemáticas.
Muchas suerte
Hice ejemplos en el AutoCAD y se puede demostrar también que la distancia entre el ortocentro y el baricentro es exactamente el doble de la que hay entre el circuncentro y el baricentro.
cada día me sorprendo con la geometria veo la naturaleza y me maravilla
Hola! Estudio profesorado de matemática,
me ayudarían a encontrar una aplicación de en vida cotidiana de la recta de Euler.
Desde ya agradezco el aporte !
Pd : Adoro esta página.
Salduos, Sofía