El Axioma de Elección

                        Kurt Gödel

La verdad que la palabra «axioma» siempre me ha resultado interesante. Suena muy bien, es realmente elegante y además cuando se pronuncia parece que hablamos de algo importante (cosa cierta).

¿Pero qué es exactamente un axioma?

Un axioma es una verdad tan básica y evidente que no necesita una demostración para saber que es cierta.

En matemáticas todo se construye a partir de axiomas, siendo éstos los pilares de las construcciones lógicas que los matemáticos hemos realizado a lo largo de la historia. Además existen distintas axiomáticas dependiendo del campo en el que estemos trabajando, como por ejemplo «Los siete axioma de Zermelo», «La axiomática de Kolmogorov» o «Los axiomas de Peano» por nombrar algunos.

En la axiomática utilizada en Teoría de Conjuntos, existe el polémico Axioma de Elección. Viene a decir lo siguiente:

«En una familia de conjuntos no vacios y disjuntos dos a dos, existe un conjunto que contiene un elemento de cada uno de ellos».

Visto de otra forma, si cada conjunto es una bolsa, podemos crear una nueva con un elemento que esté contenido en cada una de las otras bolsas. Pero claro, eso lo podemos hacer cuando el número de bolsas o de conjuntos es finito, porque en caso contrario no acabaríamos nunca.

                      Paul J. Cohen

El célebre matemático Kurt Gödel demostró en la primera mitad del S.XX que si la axiomática era consistente sin el Axioma de Elección, entonces también lo era con él.

Esta prueba fue una auténtica revolución dentro de las matemáticas, puesto que este hecho implicaba que era posible que el Axioma de Elección pudiera ser demostrado a partir de los otros nueve axiomas de Teoría de Conjuntos.

Esa idea flotó en el aire hasta que en 1963 Paul J. Cohen demostró a partir de resultados del propio Gödel que el Axioma de Elección es independiente y no implicación de los otros. Cohen obtuvo una Medalla Fields gracias a esta demostración.

Hoy día todavía sigue presente esa polémica, y aunque la inmensa mayoría de los matemáticos toman como correcta la utilización del Axioma de Elección, existe una corriente matemática denominada Intuicionismo que lo rechaza.

En Intuicionismo solo acepta las matemáticas constructivas, y rechaza la opción de demostrar que algo es falso. Además defienden que todo resultado que sea demostrable con el Axioma de Elección, también tiene que serlo sin él, aunque la demostración sea más larga y tediosa.

Por último, actualmente si rechazáramos el Axioma de Elección, no podríamos tomar como ciertos resultados tan importantes como el Lema de Zorn o el Principio de buena ordenación.

@JcVirin