Dos de mis amigos cumplen años el mismo día, ¿casualidad?

Seguramente en tu clase, en tu trabajo, en tu grupo de amigos o incluso en tu familia hay dos personas que cumplen años el mismo día, ¿a que sí?

A lo mejor, mientras estás cantando tu segundo «cumpleaños feliz» en el mismo día, piensas que es una casualidad. Pero en Matemáticas Digitales no creemos demasiado en las casualidades, y sí que creemos mucho (todo) en las matemáticas en general y en la probabilidad en particular.

Por lo que nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Cómo de probable es que dos de las personas que pertenecen a un cierto grupo humano cumplan años el mismo día? (Hay que recalcar que nos va a ser indiferente qué dos personas son, y qué día cumplen años).

La respuesta es depende. Pero como bien preguntaba Jarabe de Palo: «¿De qué depende?». En este caso el «según como se mire» no influye, si no que dependerá del número de personas que hay en ese grupo social.

Vamos a tomar que un año tiene 365 días, excluyendo así a los años bisiestos.

Si nos paramos a pensar un poco, si el grupo social del que hablamos está compuesto por al menos 366 personas, es evidente que al menos dos de ellas cumplirán años el mismo día.

Pero por cosas de la probabilidad, no nos hace falta tener un grupo tan grande para que sea muy probable que ocurra esto.

Para el cálculo de estas probabilidades necesitamos la Regla de Laplace, que como seguro sabes es aquella que dice que la probabilidad de un suceso es igual a los casos favorables entre los casos posibles. De todas formas si no la recuerdas demasiado bien, ya hablamos de ella hace tiempo en este blog.

Y también vamos a usar el cálculo de una probabilidad complementaria, es decir, si solo existen dos posibles resultados en un experimento, la probabilidad de que ocurra uno de ellos, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra el otro.

Sabiendo esto, vamos a calcular la probabilidad de que todas las personas del grupo cumplan años en días distintos, y ese resultado se lo vamos a restar a 1, dando como valor final la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día.

Vamos a elaborar varios ejemplos, siendo X=:»Dos personas cumplan años el mismo día».

Si el grupo es de 2 personas:Fijando la fecha del cumple de un individuo, el otro tiene 363 casos favorables entre los 364 casos posibles.

Si el grupo es de 3 personas:Igual que el caso anterior, pero añadiendo una tercera persona con 362 casos favorables entre 363 casos posibles.

Con 4 personas sería análogamente:

Que si realizas el cálculo sigue siendo un número muy pequeñito. Pero vamos a pasar a ver casos de números no muy grandes, pero con los que esa probabilidad crece mucho.

Si el grupo está compuesto por 23 personas:Es decir, que con tan solo 23 personas hay algo más de un 50% de probabilidad de que esto ocurra.

Pero fíjate, realizando estos mismos cálculos podemos ver que con solo 30 personas el resultado se dispara al 70.6%, con 40 personas hay prácticamente un 90% y que a partir de 60 personas, la probabilidad ya es superior al 99%.

Increíble ¿verdad? Este experimento probabilístico es uno de esos resultados en los que las matemáticas dejan por mentirosa a la intuición.

@JcVirin