Para leer este post seguramente vas a necesitar papel y lápiz pero no te asustes, que son cálculos muy sencillitos y seguro que los disfrutas. En mi opinión, gran parte de la belleza de las matemáticas reside en no creerse todo lo que se lee, sino en ir construyendo poco a poco esa lectura para demostrar con razonamientos lógicos que es cierta, porque además, muchas veces nos podemos llevar una desagradable sorpresa.
Acabo de leer un interesante artículo que Gaussianos escribió hace ya algún tiempo sobre cómo cortar una tarta circular en cuatro partes iguales de forma un poco especial. Os recomiendo que le echéis un vistazo, porque nos vamos a basar en él en este post http://gaussianos.com/como-cortar-de-manera-original-una-tarta-circular-en-cuatro-trozos-iguales/.
El problema propuesto por Gaussianos es muy simple y elegante, y se resuelve utilizando áreas de circunferencias de radio R (Área=Π*R^2).
En él, en vez de cortar en forma de cruz, que sería lo tradicional, corta dos circunferencias de radio la mitad del radio total, y que sean tangentes justo en el centro de la circunferencia grande. Además, en el post se demuestra que cada una de las dos partes sobrantes, tiene el mismo área (en este caso volumen, puesto que cuenta con la altura también) que cualquiera de las dos circunferencias pequeñas. Por lo tanto, se cumple.
Pero ahora me pregunto, ¿funcionaría la misma idea si lo realizamos en una esfera que queremos cortar en cuatro trozos con el mismo volumen?
No es mala idea intentar probarlo, puesto que una circunferencia no deja de ser una esfera de dos dimensiones, por lo tanto podría ser análogo. Vamos a verlo.
El volumen total de una esfera de radio R es 4/3*Π*R^3. Si queremos construir dos esferitas que sean tangentes en el centro de la esfera grande, cada una de ellas tiene que tener un radio de R/2. Por lo tanto sus respectivos volúmenes serán 4/3*Π*(R/2)^3=1/6*Π*R^3.
Si nos fijamos, ya sabemos que el resultado no va a ser análogo en 3 dimensiones, puesto que el volumen total era 4/3*Π*R^3, que dividido en 4 partes iguales sería 1/3*Π*R^3 que no coincide con el volumen de las esferas pequeñas halladas anteriormente. De hecho, es exactamente el doble.
De todas formas vamos a calcular los dos volúmenes restantes, para ver que es cierto que no coinciden.
Al realizar el corte propuesto, el volumen sobrante es un solo cuerpo, por lo tanto también lo cortaremos, en este caso por la mitad para facilitar su visión.
El volumen restante es: 4/3*Π*R^3-2*1/6*Π*R^3=4/3*Π*R^3-1/3*Π*R^3=Π*R^3. Al dividirlo en dos, para tener cuatro porciones, el resultado sería 1/2*Π*R^3.
Recapitulando, tendríamos cuatro volúmenes: v1=v2=1/6*Π*R^3 y v3=v4=1/2*Π*R^3, que son distintos dos a dos. Luego hemos probado, que la idea de corte que tan bien nos funciona en dos dimensiones no nos sirve en tres dimensiones.
En este caso no hemos podido probar una analogía en distintas dimensiones porque no se cumple, pero en ello reside el poder de las matemáticas, en probar los hechos que son ciertos y los que son falsos, y en este caso, nuestra hipótesis ha resultado ser falsa.
Y a ti, ¿se te ocurre un corte diferente al tradicional para dividir una esfera en 4 partes iguales? Compártelo con nosotros.
@JcVirin
